هندسه در هوش مصنوعی (AI) و یادگیری ماشین (ML) نقشی بسیار مهم و حیاتی ایفا می‌کند. در این حوزه‌ها، هندسه به درک، تجزیه و تحلیل و بهینه‌سازی داده‌ها و مدل‌ها کمک می‌کند. در ادامه، به برخی از کاربردهای کلیدی هندسه در AI و ML اشاره می‌کنیم:

1. فضاهای برداری و جاسازی (Embeddings):

جاسازی‌های برداری:

• تعبیه‌های کلمه (Word Embeddings): یکی از کاربردهای مهم هندسه در NLP (پردازش زبان طبیعی) است که کلمات را به بردارهای عددی در فضای چندبعدی نگاشت می‌کند. این بردارها بر اساس هندسه فضای برداری، معنای کلمات را در یک فضای برداری بازنمایی می‌کنند، که شباهت‌ها و روابط بین کلمات را با فاصله و جهت بین بردارها نشان می‌دهد.
• جاسازی‌های تصویر و داده‌های پیچیده: در یادگیری ماشین، داده‌های پیچیده مانند تصاویر، صداها و گراف‌ها به فضاهای برداری نگاشت می‌شوند تا بتوان از آنها برای تحلیل‌های بعدی استفاده کرد. این جاسازی‌ها از هندسه برای حفظ ساختار داده‌ها در فضای برداری استفاده می‌کنند.

2. هندسه و یادگیری ژئومتریک (Geometric Learning):

شبکه‌های عصبی گرافی (Graph Neural Networks – GNNs):

• تحلیل داده‌های گرافی: در بسیاری از کاربردها، داده‌ها به شکل گراف نمایش داده می‌شوند (مانند شبکه‌های اجتماعی، مولکول‌ها، یا شبکه‌های ارتباطی). هندسه در تحلیل و پردازش این گراف‌ها از طریق GNNs استفاده می‌شود. این شبکه‌ها از هندسه برای درک ساختار گراف و بهبود یادگیری استفاده می‌کنند.
• پیچیدگی و پایداری توپولوژیک: هندسه به درک و حفظ ویژگی‌های توپولوژیکی گراف‌ها کمک می‌کند، که برای برخی کاربردها مانند شناسایی جوامع در شبکه‌های اجتماعی یا مدل‌سازی ساختارهای مولکولی اهمیت دارد.

3. بهینه‌سازی هندسی:

روش‌های بهینه‌سازی:

• روش‌های گرادیان و بهینه‌سازی غیرمستقیم: بسیاری از الگوریتم‌های یادگیری ماشین، مانند شبکه‌های عصبی، بهینه‌سازی مبتنی بر گرادیان (مانند روش نزولی گرادیان) را برای به‌روزرسانی پارامترها استفاده می‌کنند. این فرآیندها بر اساس اصول هندسی از جمله جهت و شیب در فضای پارامترها کار می‌کنند.
• بهینه‌سازی روی منیفلدها: در برخی موارد، پارامترهای مدل‌ها بر روی منیفلدهای (مانیفولدهای) غیرخطی زندگی می‌کنند. هندسه دیفرانسیل به بهینه‌سازی در این فضاهای پیچیده کمک می‌کند.

4. تشخیص و کاهش ابعاد (Dimensionality Reduction):

کاهش ابعاد داده‌ها:

• تحلیل مؤلفه‌های اصلی (PCA): یکی از روش‌های مشهور در کاهش ابعاد، تحلیل مؤلفه‌های اصلی است که از هندسه برای یافتن بردارهای اصلی در داده‌ها استفاده می‌کند. این بردارها جهاتی را نشان می‌دهند که بیشترین واریانس داده‌ها در آن جهت‌ها قرار دارد.
• تکنیک‌های کاهش ابعاد غیرخطی: روش‌هایی مانند t-SNE و UMAP از اصول هندسی برای تجسم داده‌های پیچیده و با ابعاد بالا در فضاهای دوبعدی یا سه‌بعدی استفاده می‌کنند.

5. هندسه در یادگیری عمیق (Deep Learning):

شبکه‌های عصبی پیچشی (Convolutional Neural Networks – CNNs):

• پروسسینگ تصاویر: CNNها به طور گسترده‌ای برای پردازش تصاویر استفاده می‌شوند و از مفاهیم هندسی برای شناسایی و استخراج ویژگی‌های فضایی از تصاویر بهره می‌برند. این شبکه‌ها بر اساس عملیات پیچشی و فیلترها، الگوها و ساختارهای موجود در تصاویر را شناسایی می‌کنند.
• لایه‌های استخرگذاری (Pooling Layers): این لایه‌ها با استفاده از اصول هندسی، به خلاصه‌سازی اطلاعات و کاهش ابعاد داده‌ها در شبکه‌های عصبی کمک می‌کنند.

شبکه‌های مولد تخاصمی (GANs):

• تولید داده‌های جدید: GANها از هندسه برای یادگیری توزیع داده‌ها و تولید داده‌های جدید استفاده می‌کنند. در این فرآیند، دو شبکه (مولد و متمایزکننده) در مقابل هم قرار می‌گیرند و با استفاده از هندسه فضای داده، مولد سعی می‌کند داده‌های واقعی را شبیه‌سازی کند.

6. هندسه و یادگیری تقویتی (Reinforcement Learning):

کاوش در فضای حالت:

• مدل‌سازی فضاهای پیوسته: در یادگیری تقویتی، به‌ویژه در فضاهای پیوسته و بزرگ، هندسه به مدل‌سازی و جستجو در فضای حالت کمک می‌کند. این مدل‌سازی به یادگیری سیاست‌های بهینه و پیدا کردن مسیرهای مؤثر کمک می‌کند.
• آموزش کاراکترهای مجازی: در شبیه‌سازی‌ها و بازی‌های ویدئویی، هندسه به تعیین مسیرها و استراتژی‌های بهینه برای کاراکترهای مجازی کمک می‌کند.

7. تجسم داده‌ها:

تجسم داده‌های پیچیده:

• نقشه‌برداری هندسی: تکنیک‌های هندسی مانند MDS (مقیاس‌بندی چندبعدی) و t-SNE به تجسم داده‌های پیچیده در فضای دوبعدی یا سه‌بعدی کمک می‌کنند، که این تجسم‌ها برای تحلیل داده‌ها و فهم بهتر آنها مفید هستند.
• تحلیل واریانس: هندسه در تحلیل واریانس و پیدا کردن الگوها در داده‌ها به تجسم و تفسیر بهتر داده‌ها کمک می‌کند.

نتیجه‌گیری:

هندسه در هوش مصنوعی و یادگیری ماشین به عنوان یک ابزار ضروری برای مدل‌سازی، بهینه‌سازی، کاهش ابعاد و تجسم داده‌ها عمل می‌کند. این رشته از علم ریاضی به فهم بهتر داده‌ها و ایجاد مدل‌های پیشرفته‌تر کمک می‌کند و باعث می‌شود الگوریتم‌های هوش مصنوعی با دقت و کارایی بیشتری عمل کنند.