روابط بین زوایا در چندضلعی‌ها

مجله گام کلاس
آگوست 19, 2024
10:32 ب.ظ
بدون نظر

روابط بین زوایا در چندضلعی‌ها

در هندسه، روابط بین زوایا در چندضلعی‌ها بسیار مهم هستند و به صورت کلی می‌توان آن‌ها را به دو دسته تقسیم کرد: زوایای داخلی و زوایای خارجی. در ادامه، این روابط را بررسی می‌کنیم:

1. مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی:

مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی $n$ ضلعی از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$داخلی=(n−2)×180∘\text{مجموع زوایای داخلی} = (n – 2) \times 180^\circ$

این فرمول به این دلیل است که یک چندضلعی $n$ ضلعی می‌تواند به $n - 2$ مثلث تقسیم شود (هر مثلث دارای مجموع زوایای داخلی $180∘180^\circ$ است).

مثال: در یک پنج‌ضلعی ( $n = 5$ ):

$داخلی=(5−2)×180∘=3×180∘=540∘\text{مجموع زوایای داخلی} = (5 – 2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$

2. مقدار هر زاویه داخلی در یک چندضلعی منتظم:

چندضلعی منتظم چندضلعی‌ای است که تمام زوایا و اضلاع آن برابر هستند. مقدار هر زاویه داخلی در یک چندضلعی منتظم $n$ ضلعی از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$داخلی=(n−2)×180∘n\text{مقدار هر زاویه داخلی} = \frac{(n – 2) \times 180^\circ}{n}$

مثال: در یک شش‌ضلعی منتظم ( $n = 6$ ):

$داخلی=(6−2)×180∘6=4×180∘6=120∘\text{مقدار هر زاویه داخلی} = \frac{(6 – 2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$

3. مجموع زوایای خارجی یک چندضلعی:

مجموع زوایای خارجی هر چندضلعی، صرف‌نظر از تعداد اضلاع، همواره برابر با $360∘360^\circ$ است. این خاصیت برای هر چندضلعی (منتظم و نامنتظم) صادق است.

$خارجی=360∘\text{مجموع زوایای خارجی} = 360^\circ$

4. مقدار هر زاویه خارجی در یک چندضلعی منتظم:

مقدار هر زاویه خارجی در یک چندضلعی منتظم $n$ ضلعی برابر است با:

$خارجی=360∘n\text{مقدار هر زاویه خارجی} = \frac{360^\circ}{n}$

مثال: در یک هشت‌ضلعی منتظم ( $n = 8$ ):

$خارجی=360∘8=45∘\text{مقدار هر زاویه خارجی} = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

5. رابطه بین زاویه داخلی و خارجی در چندضلعی منتظم:

در یک چندضلعی منتظم، زاویه داخلی و زاویه خارجی مجاور به هم هستند و رابطه‌ی زیر را دارند:

$خارجی=180∘\text{زاویه داخلی} + \text{زاویه خارجی} = 180^\circ$

این روابط به طور کلی برای مطالعه و حل مسائل مرتبط با زوایا در چندضلعی‌ها کاربرد دارند.

روابط بین زوایا در چندضلعی‌ها

انواع چندضلعی‌ها

چندضلعی‌ها (پلی‌گون‌ها) بر اساس تعداد اضلاعشان دسته‌بندی می‌شوند. در زیر، نام چندضلعی‌ها بر اساس تعداد اضلاعشان آمده است:

مثلث ( $3$ ضلع)
چهارضلعی ( $4$ ضلع)
پنج‌ضلعی ( $5$ ضلع)
شش‌ضلعی ( $6$ ضلع)
هفت‌ضلعی ( $7$ ضلع)
هشت‌ضلعی ( $8$ ضلع)
نه‌ضلعی ( $9$ ضلع)
ده‌ضلعی ( $10$ ضلع)
یازده‌ضلعی ( $11$ ضلع)
دوازده‌ضلعی ( $12$ ضلع)
سیزده‌ضلعی ( $13$ ضلع)
چهارده‌ضلعی ( $14$ ضلع)
پانزده‌ضلعی ( $15$ ضلع)
شانزده‌ضلعی ( $16$ ضلع)
هفده‌ضلعی ( $17$ ضلع)
هجده‌ضلعی ( $18$ ضلع)
نوزده‌ضلعی ( $19$ ضلع)
بیست‌ضلعی ( $20$ ضلع)

برای چندضلعی‌هایی که تعداد اضلاع آن‌ها بیشتر از 20 است، معمولاً به صورت کلی از نام “n-ضلعی” استفاده می‌شود، که در آن $n$ نشان‌دهنده تعداد اضلاع است (مثلاً 25-ضلعی، 50-ضلعی، و غیره).

همچنین، چندضلعی‌ها به دو دسته منتظم و نامنتظم تقسیم می‌شوند:

چندضلعی منتظم: تمام اضلاع و زوایا برابرند (مثلاً مربع، شش‌ضلعی منتظم).
چندضلعی نامنتظم: اضلاع و زوایا می‌توانند متفاوت باشند.

چه جوری محیط یک چندضلعی‌ را حساب کنیم؟

برای محاسبه محیط یک چندضلعی، لازم است که طول تمام اضلاع آن را بدانید. در واقع، محیط هر چندضلعی برابر با مجموع طول تمام اضلاع آن است.

فرمول کلی:

برای یک چندضلعی با $n$ ضلع، اگر طول اضلاع آن‌ها به ترتیب $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , …, $a_n$ باشد، آنگاه محیط $P$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$

محاسبه محیط برای انواع خاص چندضلعی‌ها:

مثلث:
- محیط مثلث برابر است با مجموع طول‌های سه ضلع: $P = a + b + c$
که $a$ ، $b$ ، و $c$ طول اضلاع مثلث هستند.
چهارضلعی:
- محیط چهارضلعی برابر است با مجموع طول‌های چهار ضلع: $P = a + b + c + d$
که $a$ ، $b$ ، $c$ ، و $d$ طول اضلاع چهارضلعی هستند.
چندضلعی منتظم:
- در یک چندضلعی منتظم، تمام اضلاع برابرند. اگر طول هر ضلع $s$ و تعداد اضلاع $n$ باشد، آنگاه محیط به صورت زیر محاسبه می‌شود: $\times s$
که $s$ طول هر ضلع و $n$ تعداد اضلاع است.

مثال‌ها:

مثلث با اضلاع 5، 7، و 10 واحد: $\text{ واحد}$
چهارضلعی با اضلاع 4، 6، 8، و 10 واحد: $\text{ واحد}$
شش‌ضلعی منتظم با طول هر ضلع 5 واحد: $\times 5 = 30 \text{ واحد}$

در مواردی که طول اضلاع چندضلعی‌ها داده نشده باشد و تنها اطلاعاتی مانند زوایا یا سایر ویژگی‌ها موجود باشد، ممکن است نیاز به استفاده از فرمول‌های خاص هندسی یا داده‌های اضافی برای محاسبه طول اضلاع و در نتیجه محیط وجود داشته باشد.

چه جوری مساحت یک چندضلعی‌ را حساب کنیم؟

محاسبه مساحت یک چندضلعی به روش‌های مختلفی انجام می‌شود که به نوع و ویژگی‌های چندضلعی بستگی دارد. در زیر، روش‌های رایج برای محاسبه مساحت چندضلعی‌ها شرح داده شده است:

1. چندضلعی منتظم:

برای چندضلعی منتظم (چندضلعی که همه اضلاع و زوایا برابر هستند)، مساحت به روش زیر محاسبه می‌شود:

فرمول مساحت برای چندضلعی منتظم:

$\frac{n \times s^2}{4 \times \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}$

که در آن:

$n$ تعداد اضلاع
$s$ طول هر ضلع
$π\pi$ ثابت پی (تقریباً 3.14159)

مثال: برای یک مثلث منتظم با طول هر ضلع 6 واحد:

$\frac{3 \times 6^2}{4 \times \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{3 \times 36}{4 \times \sqrt{3}} \approx 15.59 \text{ واحد مربع}$

2. مستطیل یا مربع:

برای مستطیل یا مربع، مساحت به سادگی با استفاده از طول و عرض محاسبه می‌شود.

مستطیل:

$\text{طول} \times \text{عرض}$

مربع:

$\text{ضلع}^2$

مثال: برای یک مستطیل با طول 8 واحد و عرض 5 واحد:

$\times 5 = 40 \text{ واحد مربع}$

3. مثلث:

برای مثلث‌ها، می‌توانید از چندین فرمول استفاده کنید، بسته به داده‌های موجود:

فرمول اصلی:

$\frac{1}{2} \times \text{قاعدة} \times \text{ارتفاع}$

فرمول هرون (با طول سه ضلع $a$ ، $b$ ، و $c$ ):

$\frac{a + b + c}{2}$ $\sqrt{s \times (s – a) \times (s – b) \times (s – c)}$

مثال: برای مثلث با اضلاع 6، 8، و 10 واحد:

$\frac{6 + 8 + 10}{2} = 12$ $\sqrt{12 \times (12 – 6) \times (12 – 8) \times (12 – 10)} = \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2} = \sqrt{576} = 24 \text{ واحد مربع}$

4. هر نوع چندضلعی غیرمنتظم:

برای محاسبه مساحت چندضلعی‌های غیرمنتظم می‌توان از روش‌های مختلفی استفاده کرد، از جمله:

فرمول معین (برای چندضلعی‌های غیرمنتظم با نقاط مشخص): اگر نقاط چندضلعی به ترتیب $x_1, y_1)$ ، $x_2, y_2)$ ، …, $x_n, y_n)$ باشند، مساحت به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} (x_i y_{i+1} – x_{i+1} y_i) + (x_n y_1 – x_1 y_n) \right|$

تقسیم به مثلث‌ها: اگر چندضلعی را به مثلث‌های غیرهمپوشان تقسیم کنید و مساحت هر مثلث را جداگانه محاسبه کنید، سپس مساحت کل را جمع کنید.

مثال: برای یک چندضلعی با نقاط $(2, 3)$ ، $(5, 11)$ ، $(12, 8)$ ، و $(9, 5)$ :

$\frac{1}{2} \left| (2 \times 11 + 5 \times 8 + 12 \times 5 + 9 \times 3) – (3 \times 5 + 11 \times 12 + 8 \times 9 + 5 \times 2) \right|$ $\frac{1}{2} \left| (22 + 40 + 60 + 27) – (15 + 132 + 72 + 10) \right| = \frac{1}{2} \left| 149 – 229 \right| = \frac{1}{2} \times 80 = 40 \text{ واحد مربع}$

این روش‌ها به شما کمک می‌کنند تا مساحت انواع مختلف چندضلعی‌ها را محاسبه کنید.

مثلث‌ها به طور کلی بر اساس ویژگی‌های مختلفشان به دسته‌های مختلفی تقسیم می‌شوند. این دسته‌بندی‌ها می‌توانند شامل نوع زوایای داخلی مثلث و طول اضلاع آن باشند. در زیر، انواع مثلث‌ها را بر اساس این ویژگی‌ها معرفی می‌کنم:

بر اساس زوایای داخلی:

مثلث حادّالزاویه:
- تمام زوایای داخلی مثلث کمتر از $90∘90^\circ$ هستند.
- مثال: مثلثی با زوایای $30∘30^\circ$ ، $60∘60^\circ$ ، و $90∘90^\circ$ (مگر آنکه به طور خاص زوایای آن کمتر از $90∘90^\circ$ باشد).
مثلث قائمه‌الزاویه:
- یکی از زوایای داخلی آن برابر با $90∘90^\circ$ است.
- مثال: مثلثی با زوایای $90∘90^\circ$ ، $45∘45^\circ$ ، و $45∘45^\circ$ .
مثلث منفرجه:
- یکی از زوایای داخلی آن بیشتر از $90∘90^\circ$ است.
- مثال: مثلثی با زوایای $120∘120^\circ$ ، $30∘30^\circ$ ، و $30∘30^\circ$ .

بر اساس طول اضلاع:

مثلث متساوی‌الأضلاع:
- تمام اضلاع آن برابر هستند و همه زوایای داخلی آن $60∘60^\circ$ هستند.
- مثال: مثلثی که هر ضلع آن 5 واحد طول دارد و هر زاویه آن $60∘60^\circ$ است.
مثلث متساوی‌الساقین:
- دو ضلع آن برابرند و زوایای روبروی این دو ضلع برابرند.
- مثال: مثلثی با اضلاع $5$ ، $5$ ، و $8$ واحد که زوایای روبروی اضلاع $5$ برابرند.
مثلث مختلف‌الاضلاع:
- همه اضلاع آن با یکدیگر متفاوت هستند و زوایای داخلی آن نیز با یکدیگر متفاوتند.
- مثال: مثلثی با اضلاع $3$ ، $4$ ، و $5$ واحد.

جمع‌بندی:

بر اساس زاویه‌ها:
- حادّالزاویه
- قائمه‌الزاویه
- منفرجه
بر اساس اضلاع:
- متساوی‌الأضلاع
- متساوی‌الساقین
- مختلف‌الاضلاع

این دسته‌بندی‌ها به تحلیل و درک ویژگی‌های مثلث‌ها و حل مسائل هندسی کمک می‌کنند.

مجموعه ی گام کلاس (گروه آموزشی مهندس مسعودی) با هدف ارتقاء سطح علمی و موفقیت دانش آموزان متوسطه و همچنین داوطلبان کنکور در سال 1400 تاسیس شد و از بهمن ماه 1400 فعالیت خود را به طور رسمی آغاز کرد . این مجموعه ضمن بهره بردن از کادر اساتید زبده و حرفه ای در کنار جدیدترین تکنولوژی های آموزش آنلاین و آفلاین در حال رقم زدن فصل جدیدی از آموزش دروس مختلف متوسطه و کنکورمی باشد.

موسس و بنيانگذار سایت گام كلاس استاد امير مسعودى ، مطرح ترين و با سابقه ترين استاد رياضى و فيزيک ايران در آموزش آنلاين و تلويزيونى هستند كه با ارائه سبكى جديد و روش هاى پاسخگويى سريع ، مهم ترین تمایز گام‌کلاس نسبت به ساير موسسات می باشد.

اگه توام میخوای سال بعد ، اسمت توی لیست رتبه برترهای کنکور نوشته بشه و به رویات رسیده باشی و خانواده ت بهت افتخار کنند ، هنوزم دیر نشده ….‌
فقط کافیه با قدرت از الان بدون توجه به حاشیه ها شروع به جنگیدن کنی و ما هم در کنارتون هستیم که هر چیزی که لازم دارید براتون مهیا کنیم…
فقط کافیه از همین لحظه شروع کنی…

لینک خرید

جلسه اول بلک تست ، امروز ساعت 18:00 || ورود به کلاس ||

شماره تماس

ورود | ثبت نام

روابط بین زوایا در چندضلعی‌ها

روابط بین زوایا در چندضلعی‌ها

1. مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی:

$داخلی=(n−2)×180∘\text{مجموع زوایای داخلی} = (n – 2) \times 180^\circ$

$داخلی=(5−2)×180∘=3×180∘=540∘\text{مجموع زوایای داخلی} = (5 – 2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$

2. مقدار هر زاویه داخلی در یک چندضلعی منتظم:

$داخلی=(n−2)×180∘n\text{مقدار هر زاویه داخلی} = \frac{(n – 2) \times 180^\circ}{n}$

$داخلی=(6−2)×180∘6=4×180∘6=120∘\text{مقدار هر زاویه داخلی} = \frac{(6 – 2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$

3. مجموع زوایای خارجی یک چندضلعی:

$خارجی=360∘\text{مجموع زوایای خارجی} = 360^\circ$

4. مقدار هر زاویه خارجی در یک چندضلعی منتظم:

$خارجی=360∘n\text{مقدار هر زاویه خارجی} = \frac{360^\circ}{n}$

$خارجی=360∘8=45∘\text{مقدار هر زاویه خارجی} = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

5. رابطه بین زاویه داخلی و خارجی در چندضلعی منتظم:

$خارجی=180∘\text{زاویه داخلی} + \text{زاویه خارجی} = 180^\circ$

روابط بین زوایا در چندضلعی‌ها

انواع چندضلعی‌ها

چه جوری محیط یک چندضلعی‌ را حساب کنیم؟

فرمول کلی:

محاسبه محیط برای انواع خاص چندضلعی‌ها:

مثال‌ها:

چه جوری مساحت یک چندضلعی‌ را حساب کنیم؟

1. چندضلعی منتظم:

2. مستطیل یا مربع:

3. مثلث:

4. هر نوع چندضلعی غیرمنتظم:

بر اساس زوایای داخلی:

بر اساس طول اضلاع:

جمع‌بندی:

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ

پشتیبانی حرفه ای

مشاوره رایگان

بعد از تکمیل فرم زیر کارشناسان ما ، در اولین فرصت با شما تماس خواهند گرفت

جلسه اول بلک تست ، امروز ساعت 18:00 || ورود به کلاس ||

شماره تماس

ورود | ثبت نام

روابط بین زوایا در چندضلعی‌ها

روابط بین زوایا در چندضلعی‌ها

1. مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی:

مجموع زوایای داخلی=(n−2)×180∘\text{مجموع زوایای داخلی} = (n – 2) \times 180^\circمجموع زوایای داخلی=(n−2)×180∘

مجموع زوایای داخلی=(5−2)×180∘=3×180∘=540∘\text{مجموع زوایای داخلی} = (5 – 2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circمجموع زوایای داخلی=(5−2)×180∘=3×180∘=540∘

2. مقدار هر زاویه داخلی در یک چندضلعی منتظم:

مقدار هر زاویه داخلی=(n−2)×180∘n\text{مقدار هر زاویه داخلی} = \frac{(n – 2) \times 180^\circ}{n}مقدار هر زاویه داخلی=n(n−2)×180∘​

مقدار هر زاویه داخلی=(6−2)×180∘6=4×180∘6=120∘\text{مقدار هر زاویه داخلی} = \frac{(6 – 2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circمقدار هر زاویه داخلی=6(6−2)×180∘​=64×180∘​=120∘

3. مجموع زوایای خارجی یک چندضلعی:

مجموع زوایای خارجی=360∘\text{مجموع زوایای خارجی} = 360^\circمجموع زوایای خارجی=360∘

4. مقدار هر زاویه خارجی در یک چندضلعی منتظم:

مقدار هر زاویه خارجی=360∘n\text{مقدار هر زاویه خارجی} = \frac{360^\circ}{n}مقدار هر زاویه خارجی=n360∘​

مقدار هر زاویه خارجی=360∘8=45∘\text{مقدار هر زاویه خارجی} = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circمقدار هر زاویه خارجی=8360∘​=45∘

5. رابطه بین زاویه داخلی و خارجی در چندضلعی منتظم:

زاویه داخلی+زاویه خارجی=180∘\text{زاویه داخلی} + \text{زاویه خارجی} = 180^\circزاویه داخلی+زاویه خارجی=180∘

روابط بین زوایا در چندضلعی‌ها

انواع چندضلعی‌ها

چه جوری محیط یک چندضلعی‌ را حساب کنیم؟

فرمول کلی:

محاسبه محیط برای انواع خاص چندضلعی‌ها:

مثال‌ها:

چه جوری مساحت یک چندضلعی‌ را حساب کنیم؟

1. چندضلعی منتظم:

2. مستطیل یا مربع:

3. مثلث:

4. هر نوع چندضلعی غیرمنتظم:

انواع مثلث ها

بر اساس زوایای داخلی:

بر اساس طول اضلاع:

جمع‌بندی:

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ

پشتیبانی حرفه ای

مشاوره رایگان

بعد از تکمیل فرم زیر کارشناسان ما ، در اولین فرصت با شما تماس خواهند گرفت

$داخلی=(n−2)×180∘\text{مجموع زوایای داخلی} = (n – 2) \times 180^\circ$

$داخلی=(5−2)×180∘=3×180∘=540∘\text{مجموع زوایای داخلی} = (5 – 2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$

$داخلی=(n−2)×180∘n\text{مقدار هر زاویه داخلی} = \frac{(n – 2) \times 180^\circ}{n}$

$داخلی=(6−2)×180∘6=4×180∘6=120∘\text{مقدار هر زاویه داخلی} = \frac{(6 – 2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$

$خارجی=360∘\text{مجموع زوایای خارجی} = 360^\circ$

$خارجی=360∘n\text{مقدار هر زاویه خارجی} = \frac{360^\circ}{n}$

$خارجی=360∘8=45∘\text{مقدار هر زاویه خارجی} = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

$خارجی=180∘\text{زاویه داخلی} + \text{زاویه خارجی} = 180^\circ$