روابط بین زوایا در چندضلعیها
در هندسه، روابط بین زوایا در چندضلعیها بسیار مهم هستند و به صورت کلی میتوان آنها را به دو دسته تقسیم کرد: زوایای داخلی و زوایای خارجی. در ادامه، این روابط را بررسی میکنیم:
1. مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی:
مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی nnn ضلعی از فرمول زیر محاسبه میشود:
مجموع زوایای داخلی=(n−2)×180∘\text{مجموع زوایای داخلی} = (n – 2) \times 180^\circمجموع زوایای داخلی=(n−2)×180∘
این فرمول به این دلیل است که یک چندضلعی nnn ضلعی میتواند به n−2n-2n−2 مثلث تقسیم شود (هر مثلث دارای مجموع زوایای داخلی 180∘180^\circ180∘ است).
مثال: در یک پنجضلعی (n=5n = 5n=5):
مجموع زوایای داخلی=(5−2)×180∘=3×180∘=540∘\text{مجموع زوایای داخلی} = (5 – 2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circمجموع زوایای داخلی=(5−2)×180∘=3×180∘=540∘
2. مقدار هر زاویه داخلی در یک چندضلعی منتظم:
چندضلعی منتظم چندضلعیای است که تمام زوایا و اضلاع آن برابر هستند. مقدار هر زاویه داخلی در یک چندضلعی منتظم nnn ضلعی از فرمول زیر محاسبه میشود:
مقدار هر زاویه داخلی=(n−2)×180∘n\text{مقدار هر زاویه داخلی} = \frac{(n – 2) \times 180^\circ}{n}مقدار هر زاویه داخلی=n(n−2)×180∘
مثال: در یک ششضلعی منتظم (n=6n = 6n=6):
مقدار هر زاویه داخلی=(6−2)×180∘6=4×180∘6=120∘\text{مقدار هر زاویه داخلی} = \frac{(6 – 2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circمقدار هر زاویه داخلی=6(6−2)×180∘=64×180∘=120∘
3. مجموع زوایای خارجی یک چندضلعی:
مجموع زوایای خارجی هر چندضلعی، صرفنظر از تعداد اضلاع، همواره برابر با 360∘360^\circ360∘ است. این خاصیت برای هر چندضلعی (منتظم و نامنتظم) صادق است.
مجموع زوایای خارجی=360∘\text{مجموع زوایای خارجی} = 360^\circمجموع زوایای خارجی=360∘
4. مقدار هر زاویه خارجی در یک چندضلعی منتظم:
مقدار هر زاویه خارجی در یک چندضلعی منتظم nnn ضلعی برابر است با:
مقدار هر زاویه خارجی=360∘n\text{مقدار هر زاویه خارجی} = \frac{360^\circ}{n}مقدار هر زاویه خارجی=n360∘
مثال: در یک هشتضلعی منتظم (n=8n = 8n=8):
مقدار هر زاویه خارجی=360∘8=45∘\text{مقدار هر زاویه خارجی} = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circمقدار هر زاویه خارجی=8360∘=45∘
5. رابطه بین زاویه داخلی و خارجی در چندضلعی منتظم:
در یک چندضلعی منتظم، زاویه داخلی و زاویه خارجی مجاور به هم هستند و رابطهی زیر را دارند:
زاویه داخلی+زاویه خارجی=180∘\text{زاویه داخلی} + \text{زاویه خارجی} = 180^\circزاویه داخلی+زاویه خارجی=180∘
این روابط به طور کلی برای مطالعه و حل مسائل مرتبط با زوایا در چندضلعیها کاربرد دارند.
روابط بین زوایا در چندضلعیها
انواع چندضلعیها
چندضلعیها (پلیگونها) بر اساس تعداد اضلاعشان دستهبندی میشوند. در زیر، نام چندضلعیها بر اساس تعداد اضلاعشان آمده است:
- مثلث (333 ضلع)
- چهارضلعی (444 ضلع)
- پنجضلعی (555 ضلع)
- ششضلعی (666 ضلع)
- هفتضلعی (777 ضلع)
- هشتضلعی (888 ضلع)
- نهضلعی (999 ضلع)
- دهضلعی (101010 ضلع)
- یازدهضلعی (111111 ضلع)
- دوازدهضلعی (121212 ضلع)
- سیزدهضلعی (131313 ضلع)
- چهاردهضلعی (141414 ضلع)
- پانزدهضلعی (151515 ضلع)
- شانزدهضلعی (161616 ضلع)
- هفدهضلعی (171717 ضلع)
- هجدهضلعی (181818 ضلع)
- نوزدهضلعی (191919 ضلع)
- بیستضلعی (202020 ضلع)
برای چندضلعیهایی که تعداد اضلاع آنها بیشتر از 20 است، معمولاً به صورت کلی از نام “n-ضلعی” استفاده میشود، که در آن nnn نشاندهنده تعداد اضلاع است (مثلاً 25-ضلعی، 50-ضلعی، و غیره).
همچنین، چندضلعیها به دو دسته منتظم و نامنتظم تقسیم میشوند:
- چندضلعی منتظم: تمام اضلاع و زوایا برابرند (مثلاً مربع، ششضلعی منتظم).
- چندضلعی نامنتظم: اضلاع و زوایا میتوانند متفاوت باشند.
چه جوری محیط یک چندضلعی را حساب کنیم؟
برای محاسبه محیط یک چندضلعی، لازم است که طول تمام اضلاع آن را بدانید. در واقع، محیط هر چندضلعی برابر با مجموع طول تمام اضلاع آن است.
فرمول کلی:
برای یک چندضلعی با nnn ضلع، اگر طول اضلاع آنها به ترتیب a1a_1a1, a2a_2a2, a3a_3a3, …, ana_nan باشد، آنگاه محیط PPP به صورت زیر محاسبه میشود:
P=a1+a2+a3+⋯+anP = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_nP=a1+a2+a3+⋯+an
محاسبه محیط برای انواع خاص چندضلعیها:
- مثلث:
- محیط مثلث برابر است با مجموع طولهای سه ضلع: P=a+b+cP = a + b + cP=a+b+c
که aaa، bbb، و ccc طول اضلاع مثلث هستند.
- چهارضلعی:
- محیط چهارضلعی برابر است با مجموع طولهای چهار ضلع: P=a+b+c+dP = a + b + c + dP=a+b+c+d
که aaa، bbb، ccc، و ddd طول اضلاع چهارضلعی هستند.
- چندضلعی منتظم:
- در یک چندضلعی منتظم، تمام اضلاع برابرند. اگر طول هر ضلع sss و تعداد اضلاع nnn باشد، آنگاه محیط به صورت زیر محاسبه میشود: P=n×sP = n \times sP=n×s
که sss طول هر ضلع و nnn تعداد اضلاع است.
مثالها:
- مثلث با اضلاع 5، 7، و 10 واحد:P=5+7+10=22 واحدP = 5 + 7 + 10 = 22 \text{ واحد}P=5+7+10=22 واحد
- چهارضلعی با اضلاع 4، 6، 8، و 10 واحد:P=4+6+8+10=28 واحدP = 4 + 6 + 8 + 10 = 28 \text{ واحد}P=4+6+8+10=28 واحد
- ششضلعی منتظم با طول هر ضلع 5 واحد:P=6×5=30 واحدP = 6 \times 5 = 30 \text{ واحد}P=6×5=30 واحد
در مواردی که طول اضلاع چندضلعیها داده نشده باشد و تنها اطلاعاتی مانند زوایا یا سایر ویژگیها موجود باشد، ممکن است نیاز به استفاده از فرمولهای خاص هندسی یا دادههای اضافی برای محاسبه طول اضلاع و در نتیجه محیط وجود داشته باشد.
چه جوری مساحت یک چندضلعی را حساب کنیم؟
محاسبه مساحت یک چندضلعی به روشهای مختلفی انجام میشود که به نوع و ویژگیهای چندضلعی بستگی دارد. در زیر، روشهای رایج برای محاسبه مساحت چندضلعیها شرح داده شده است:
1. چندضلعی منتظم:
برای چندضلعی منتظم (چندضلعی که همه اضلاع و زوایا برابر هستند)، مساحت به روش زیر محاسبه میشود:
- فرمول مساحت برای چندضلعی منتظم:
A=n×s24×tan(πn)A = \frac{n \times s^2}{4 \times \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}A=4×tan(nπ)n×s2
که در آن:
- nnn تعداد اضلاع
- sss طول هر ضلع
- π\piπ ثابت پی (تقریباً 3.14159)
مثال: برای یک مثلث منتظم با طول هر ضلع 6 واحد:
A=3×624×tan(π3)=3×364×3≈15.59 واحد مربعA = \frac{3 \times 6^2}{4 \times \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{3 \times 36}{4 \times \sqrt{3}} \approx 15.59 \text{ واحد مربع}A=4×tan(3π)3×62=4×33×36≈15.59 واحد مربع
2. مستطیل یا مربع:
برای مستطیل یا مربع، مساحت به سادگی با استفاده از طول و عرض محاسبه میشود.
- مستطیل:
A=طول×عرضA = \text{طول} \times \text{عرض}A=طول×عرض
- مربع:
A=ضلع2A = \text{ضلع}^2A=ضلع2
مثال: برای یک مستطیل با طول 8 واحد و عرض 5 واحد:
A=8×5=40 واحد مربعA = 8 \times 5 = 40 \text{ واحد مربع}A=8×5=40 واحد مربع
3. مثلث:
برای مثلثها، میتوانید از چندین فرمول استفاده کنید، بسته به دادههای موجود:
- فرمول اصلی:
A=12×قاعدة×ارتفاعA = \frac{1}{2} \times \text{قاعدة} \times \text{ارتفاع}A=21×قاعدة×ارتفاع
- فرمول هرون (با طول سه ضلع aaa، bbb، و ccc):
s=a+b+c2s = \frac{a + b + c}{2}s=2a+b+c A=s×(s−a)×(s−b)×(s−c)A = \sqrt{s \times (s – a) \times (s – b) \times (s – c)}A=s×(s−a)×(s−b)×(s−c)
مثال: برای مثلث با اضلاع 6، 8، و 10 واحد:
s=6+8+102=12s = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12s=26+8+10=12 A=12×(12−6)×(12−8)×(12−10)=12×6×4×2=576=24 واحد مربعA = \sqrt{12 \times (12 – 6) \times (12 – 8) \times (12 – 10)} = \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2} = \sqrt{576} = 24 \text{ واحد مربع}A=12×(12−6)×(12−8)×(12−10)=12×6×4×2=576=24 واحد مربع
4. هر نوع چندضلعی غیرمنتظم:
برای محاسبه مساحت چندضلعیهای غیرمنتظم میتوان از روشهای مختلفی استفاده کرد، از جمله:
- فرمول معین (برای چندضلعیهای غیرمنتظم با نقاط مشخص): اگر نقاط چندضلعی به ترتیب (x1,y1)(x_1, y_1)(x1,y1)، (x2,y2)(x_2, y_2)(x2,y2)، …, (xn,yn)(x_n, y_n)(xn,yn) باشند، مساحت به صورت زیر محاسبه میشود:
A=12∣∑i=1n−1(xiyi+1−xi+1yi)+(xny1−x1yn)∣A = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} (x_i y_{i+1} – x_{i+1} y_i) + (x_n y_1 – x_1 y_n) \right|A=21i=1∑n−1(xiyi+1−xi+1yi)+(xny1−x1yn)
- تقسیم به مثلثها: اگر چندضلعی را به مثلثهای غیرهمپوشان تقسیم کنید و مساحت هر مثلث را جداگانه محاسبه کنید، سپس مساحت کل را جمع کنید.
مثال: برای یک چندضلعی با نقاط (2,3)(2, 3)(2,3)، (5,11)(5, 11)(5,11)، (12,8)(12, 8)(12,8)، و (9,5)(9, 5)(9,5):
A=12∣(2×11+5×8+12×5+9×3)−(3×5+11×12+8×9+5×2)∣A = \frac{1}{2} \left| (2 \times 11 + 5 \times 8 + 12 \times 5 + 9 \times 3) – (3 \times 5 + 11 \times 12 + 8 \times 9 + 5 \times 2) \right|A=21∣(2×11+5×8+12×5+9×3)−(3×5+11×12+8×9+5×2)∣ A=12∣(22+40+60+27)−(15+132+72+10)∣=12∣149−229∣=12×80=40 واحد مربعA = \frac{1}{2} \left| (22 + 40 + 60 + 27) – (15 + 132 + 72 + 10) \right| = \frac{1}{2} \left| 149 – 229 \right| = \frac{1}{2} \times 80 = 40 \text{ واحد مربع}A=21∣(22+40+60+27)−(15+132+72+10)∣=21∣149−229∣=21×80=40 واحد مربع
این روشها به شما کمک میکنند تا مساحت انواع مختلف چندضلعیها را محاسبه کنید.
انواع مثلث ها
مثلثها به طور کلی بر اساس ویژگیهای مختلفشان به دستههای مختلفی تقسیم میشوند. این دستهبندیها میتوانند شامل نوع زوایای داخلی مثلث و طول اضلاع آن باشند. در زیر، انواع مثلثها را بر اساس این ویژگیها معرفی میکنم:
بر اساس زوایای داخلی:
- مثلث حادّالزاویه:
- تمام زوایای داخلی مثلث کمتر از 90∘90^\circ90∘ هستند.
- مثال: مثلثی با زوایای 30∘30^\circ30∘، 60∘60^\circ60∘، و 90∘90^\circ90∘ (مگر آنکه به طور خاص زوایای آن کمتر از 90∘90^\circ90∘ باشد).
- مثلث قائمهالزاویه:
- یکی از زوایای داخلی آن برابر با 90∘90^\circ90∘ است.
- مثال: مثلثی با زوایای 90∘90^\circ90∘، 45∘45^\circ45∘، و 45∘45^\circ45∘.
- مثلث منفرجه:
- یکی از زوایای داخلی آن بیشتر از 90∘90^\circ90∘ است.
- مثال: مثلثی با زوایای 120∘120^\circ120∘، 30∘30^\circ30∘، و 30∘30^\circ30∘.
بر اساس طول اضلاع:
- مثلث متساویالأضلاع:
- تمام اضلاع آن برابر هستند و همه زوایای داخلی آن 60∘60^\circ60∘ هستند.
- مثال: مثلثی که هر ضلع آن 5 واحد طول دارد و هر زاویه آن 60∘60^\circ60∘ است.
- مثلث متساویالساقین:
- دو ضلع آن برابرند و زوایای روبروی این دو ضلع برابرند.
- مثال: مثلثی با اضلاع 555، 555، و 888 واحد که زوایای روبروی اضلاع 555 برابرند.
- مثلث مختلفالاضلاع:
- همه اضلاع آن با یکدیگر متفاوت هستند و زوایای داخلی آن نیز با یکدیگر متفاوتند.
- مثال: مثلثی با اضلاع 333، 444، و 555 واحد.
جمعبندی:
- بر اساس زاویهها:
- حادّالزاویه
- قائمهالزاویه
- منفرجه
- بر اساس اضلاع:
- متساویالأضلاع
- متساویالساقین
- مختلفالاضلاع
این دستهبندیها به تحلیل و درک ویژگیهای مثلثها و حل مسائل هندسی کمک میکنند.
مجموعه ی گام کلاس (گروه آموزشی مهندس مسعودی) با هدف ارتقاء سطح علمی و موفقیت دانش آموزان متوسطه و همچنین داوطلبان کنکور در سال 1400 تاسیس شد و از بهمن ماه 1400 فعالیت خود را به طور رسمی آغاز کرد . این مجموعه ضمن بهره بردن از کادر اساتید زبده و حرفه ای در کنار جدیدترین تکنولوژی های آموزش آنلاین و آفلاین در حال رقم زدن فصل جدیدی از آموزش دروس مختلف متوسطه و کنکورمی باشد.
موسس و بنيانگذار سایت گام كلاس استاد امير مسعودى ، مطرح ترين و با سابقه ترين استاد رياضى و فيزيک ايران در آموزش آنلاين و تلويزيونى هستند كه با ارائه سبكى جديد و روش هاى پاسخگويى سريع ، مهم ترین تمایز گامکلاس نسبت به ساير موسسات می باشد.