اقلیدس و ارشمیدس فاتحان ریاضی

قبل از شروع زندگانیاقلیدس و ارشمیدس بیاید پیش زمینه ای از ریاضی و ادوات آن داشته باشیم تا فهم مطالب آتی برای اما آسان نر باشد .

اقلیدس و ارشمیدس فاتحان ریاضی

ارشمیدس: نابغه ریاضی و فیزیک یونان باستان

زندگی:

• تولد: 287 پیش از میلاد در سیراکوز، سیسیل، یونان
• مرگ: 212 پیش از میلاد در سیراکوز، سیسیل، یونان
• فعالیت: ریاضیدان، فیزیکدان، مهندس، مخترع و منجم

معروف به:

• قانون ارشمیدس
• محاسبه عدد پی
• اصل اهرم
• مارپیچ ارشمیدس

زندگی شخصی:

ارشمیدس در سیراکوز یونان باستان متولد شد. گفته می‌شود که او از خانواده‌ای ثروتمند بود و تحصیلات خود را در اسکندریه، مرکز علمی جهان در آن زمان، گذراند. پس از اتمام تحصیلات به سیراکوز بازگشت و در دربار Hiero II، پادشاه سیراکوز، به عنوان مشاور و مهندس مشغول به کار شد.

آثار:

ارشمیدس در زمینه‌های مختلف ریاضیات، فیزیک، مهندسی و نجوم دستاوردهای مهمی داشته است. برخی از مشهورترین آثار او عبارتند از:

• قانون ارشمیدس: این قانون بیان می‌کند که نیروی شناوری که بر جسمی در سیال وارد می‌شود برابر با وزن سیال رانده شده توسط آن جسم است.
• محاسبه عدد پی: ارشمیدس از روشی ابتکاری برای محاسبه عدد پی استفاده کرد و مقدار آن را تا رقم سوم اعشاری تخمین زد.
• اصل اهرم: ارشمیدس اصل اهرم را که بیان می‌کند یک جسم سنگین را می‌توان با اعمال نیرویی کوچک به نقطه دورتر از بار به تعادل رساند، کشف کرد.
• مارپیچ ارشمیدس: مارپیچ ارشمیدس یک منحنی است که در بسیاری از کاربردهای مهندسی از جمله پمپ‌ها و ابزارهای حفاری استفاده می‌شود.

میراث:

ارشمیدس یکی از بزرگترین دانشمندان تاریخ است. کارهای او در زمینه ریاضیات، فیزیک و مهندسی پایه و اساس بسیاری از اختراعات و اکتشافات بعدی را بنا نهاد. او به عنوان یکی از خلاق‌ترین و مبتکرترین ذهن‌های تمام دوران شناخته می‌شود.

نکات جالب:

• گفته می‌شود که ارشمیدس در حالی که در حمام بود، قانون ارشمیدس را کشف کرد. او چنان هیجان‌زده بود که از حمام بیرون دوید و فریاد زد “یافتم! یافتم!”.
• ارشمیدس در جریان محاصره سیراکوز توسط رومی‌ها کشته شد. طبق افسانه، سربازی رومی او را در حالی که در حال انجام محاسبات ریاضی بود، کشت.

قانون ارشمیدس: شناوری در سیالات

قانون ارشمیدس یکی از مهم‌ترین اصول در فیزیک سیالات است که به شناوری اجسام در مایعات و گازها می‌پردازد. این قانون به طور خلاصه بیان می‌کند:

نیروی شناوری که به جسمی در سیال وارد می‌شود، برابر با وزن سیال رانده شده توسط آن جسم است.

به عبارت دیگر، زمانی که جسمی را در مایعی فرو می‌کنیم، آن مایع به اندازه حجم جسم جابجا شده، وزن خود را از دست می‌دهد. این نیروی “از دست رفته” به عنوان نیروی شناوری به جسم اعمال می‌شود و جهت آن همیشه رو به بالا است.

فرمول نیروی شناوری:

نیروی شناوری با نماد F_b نشان داده می‌شود و با استفاده از چگالی سیال (ρ) و حجم سیال جابجا شده (V) به دست می‌آید:

F_b = ρ * g * V

در این فرمول:

• ρ: چگالی سیال (بر حسب کیلوگرم بر متر مکعب)
• g: شتاب جاذبه زمین (تقریباً 9.81 متر بر ثانیه مربع)
• V: حجم سیال جابجا شده (بر حسب متر مکعب)

کاربردهای قانون ارشمیدس:

قانون ارشمیدس کاربردهای بسیار زیادی در زمینه‌های مختلف دارد، از جمله:

• شناور شدن کشتی‌ها و زیردریایی‌ها: کشتی‌ها به دلیل جابجا کردن حجم زیادی از آب، نیروی شناوری کافی برای غلبه بر وزن خود دریافت می‌کنند و روی آب شناور می‌مانند. زیردریایی‌ها نیز با استفاده از مخازن آب قابل تنظیم، می‌توانند چگالی خود را کنترل کرده و غوطه‌ور شوند یا به سطح آب بیایند.
• غواصی: غواصان با پوشیدن جلیقه‌های غواصی که با هوا یا گاز پر شده است، می‌توانند چگالی خود را کاهش داده و غوطه‌ور شوند.
• اندازه‌گیری چگالی: با استفاده از قانون ارشمیدس و اندازه‌گیری نیروی شناوری و حجم سیال جابجا شده، می‌توان چگالی اجسام را تعیین کرد.
• آزمایش‌های علمی: از قانون ارشمیدس در بسیاری از آزمایش‌های علمی، مانند آزمایش ارشمیدس و آزمایش چگالی، استفاده می‌شود.

مثال‌هایی از قانون ارشمیدس:

• یک توپ فوتبال را در نظر بگیرید: هنگامی که توپ فوتبال را در آب فرو می‌کنید، مقداری از آب را جابجا می‌کند. نیروی شناوری که به توپ وارد می‌شود برابر با وزن آب جابجا شده است. اگر توپ را به طور کامل در آب فرو کنید، نیروی شناوری برابر با وزن کل توپ خواهد بود و توپ روی آب معلق می‌ماند.
• یک سنگ را در نظر بگیرید: هنگامی که سنگ را در آب فرو می‌کنید، مقداری از آب را جابجا می‌کند. نیروی شناوری که به سنگ وارد می‌شود برابر با وزن آب جابجا شده است. اما اگر چگالی سنگ بیشتر از چگالی آب باشد، نیروی شناوری از وزن سنگ کمتر خواهد بود و سنگ در آب غرق می‌شود.

قانون ارشمیدس و اصل شناوری:

قانون ارشمیدس ارتباط نزدیکی با اصل شناوری دارد. اصل شناوری بیان می‌کند که یک جسم در سیال زمانی شناور می‌ماند که نیروی شناوری وارد بر آن بیشتر از وزن آن باشد. اگر نیروی شناوری کمتر از وزن جسم باشد، جسم در سیال غرق می‌شود.

نقش چگالی در قانون ارشمیدس:

چگالی سیال و چگالی جسم نقش مهمی در تعیین اینکه آیا جسم در سیال شناور می‌شود یا غرق می‌شود، دارد. اگر چگالی جسم کمتر از چگالی سیال باشد، نیروی شناوری بیشتر از وزن جسم خواهد بود و جسم روی سیال شناور می‌ماند. اما اگر چگالی جسم بیشتر از چگالی سیال باشد، نیروی شناوری کمتر از وزن جسم خواهد بود و جسم در سیال غرق می‌شود.

محاسبه عدد پی توسط ارشمیدس: روشی خلاقانه

ارشمیدس، ریاضیدان و فیزیکدان یونان باستان، به خاطر روش ابتکاری خود برای محاسبه تقریبی عدد پی (π) مشهور است. در حالی که روش‌های دقیق‌تری برای محاسبه عدد پی در دوران‌های بعد ابداع شده است، روش ارشمیدس به دلیل سادگی و خلاقیت آن قابل توجه است.

روش ارشمیدس:

ارشمیدس از روشی هندسی برای محاسبه عدد پی استفاده کرد که بر اساس محیط و مساحت دایره استوار بود. او مراحل زیر را انجام داد:

1. یک دایره و یک شش ضلعی منتظم در آن رسم کرد. شش ضلعی منتظم در داخل دایره محاط شده بود، به طوری که هر ضلع شش ضلعی با محیط دایره مماس بود.
2. مساحت دایره و شش ضلعی را محاسبه کرد. مساحت دایره را می‌توان با استفاده از فرمول πr² و مساحت شش ضلعی را با استفاده از فرمول ½bh (که در آن b طول هر ضلع و h ارتفاع شش ضلعی است) محاسبه کرد.
3. محیط دایره را محاسبه کرد. محیط دایره را می‌توان با استفاده از فرمول 2πr محاسبه کرد، که در آن r شعاع دایره است.
4. نسبت محیط دایره به محیط شش ضلعی را محاسبه کرد. این نسبت تقریباً برابر با عدد پی بود.
5. این فرآیند را با چند ضلعی‌های منتظم با تعداد اضلاع بیشتر (مانند دوازده ضلعی، بیست و چهار ضلعی و …) تکرار کرد. با افزایش تعداد اضلاع، دقت تخمین عدد پی نیز افزایش می‌یافت.

دقت محاسبه:

ارشمیدس این فرآیند را تا 96 ضلع تکرار کرد و تخمین نهایی او برای عدد پی بین 3.14159 و 3.14160 بود. این مقدار با دقت 99.97% با مقدار واقعی عدد پی (تقریباً 3.1415926535) مطابقت دارد.

اهمیت روش ارشمیدس:

روش ارشمیدس برای محاسبه عدد پی از چند جهت حائز اهمیت است:

• سادگی: این روش از مفاهیم هندسی ساده‌ای مانند دایره، شش ضلعی و مساحت استفاده می‌کند.
• خلاقیت: این روش نشان‌دهنده خلاقیت و ابتکار ارشمیدس در حل مسائل ریاضی بود.
• دقت: با وجود سادگی، این روش به دقت قابل توجهی در محاسبه عدد پی دست یافت.

تاثیرگذاری:

روش ارشمیدس برای محاسبه عدد پی الهام‌بخش ریاضیدانان در طول تاریخ بوده است. این روش پایه و اساس روش‌های دقیق‌تر بعدی برای محاسبه عدد پی را بنا نهاد.

اصل اهرم ارشمیدس: تعادل نیروها

اصل اهرم یکی از اصول بنیادی در مکانیک است که به رابطه بین نیرو، فاصله و گشتاور می‌پردازد. این اصل را می‌توان به طور خلاصه به صورت زیر بیان کرد:

در یک اهرم متعادل، حاصلضرب نیرو در فاصله تا تکیه گاه برای هر دو جسم برابر است.

به عبارت دیگر، اگر دو جسم با وزن‌های مختلف در دو طرف یک اهرم ثابت قرار گیرند، اهرم در حال تعادل خواهد بود اگر حاصلضرب وزن هر جسم در فاصله آن تا تکیه گاه برابر باشد.

فرمول اصل اهرم:

اصل اهرم را می‌توان با استفاده از فرمول زیر به صورت ریاضی بیان کرد:

F_1 * d_1 = F_2 * d_2

در این فرمول:

• F_1: نیروی اعمال شده توسط جسم اول
• d_1: فاصله جسم اول تا تکیه گاه
• F_2: نیروی اعمال شده توسط جسم دوم
• d_2: فاصله جسم دوم تا تکیه گاه

مثال:

فرض کنید یک اهرم با طول 1 متر داریم و دو جسم با وزن‌های 10 کیلوگرم و 20 کیلوگرم در دو طرف آن قرار گرفته‌اند. برای اینکه اهرم در حال تعادل باشد، باید جسم 20 کیلوگرمی را در فاصله 0.5 متری از تکیه گاه و جسم 10 کیلوگرمی را در فاصله 1 متری از تکیه گاه قرار دهیم. در این حالت، حاصلضرب وزن هر جسم در فاصله آن تا تکیه گاه برابر خواهد بود:

10 kg * 1 m = 20 kg * 0.5 m

کاربردهای اصل اهرم:

اصل اهرم کاربردهای بسیار زیادی در زمینه‌های مختلف دارد، از جمله:

• ابزارهای مختلف: بسیاری از ابزارها مانند قیچی، اهرم چنگک، گوه و قرقره بر اساس اصل اهرم عمل می‌کنند.
• ماشین‌های ساده: اهرم یکی از اجزای اصلی بسیاری از ماشین‌های ساده مانند چرخ و محور، قرقره و بلوک و شیب است.
• معماری و سازه‌ها: از اصل اهرم در طراحی و ساخت پل‌ها، ساختمان‌ها و سایر سازه‌ها استفاده می‌شود.

نقش اهرم در مکانیک:

اصل اهرم یکی از مفاهیم بنیادی در مکانیک است که به درک نحوه عملکرد نیروها و گشتاور در سیستم‌های مختلف کمک می‌کند. این اصل در بسیاری از زمینه‌های مختلف مهندسی و علوم کاربرد دارد.

ارشمیدس و اصل اهرم:

اگرچه اصل اهرم به طور سنتی به ارشمیدس نسبت داده نمی‌شود، اما او نقش مهمی در درک و ترویج این اصل داشت. ارشمیدس از اصل اهرم در بسیاری از اختراعات و اکتشافات خود، مانند طراحی پیچ ارشمیدس، استفاده کرد.

مجموعه ی گام کلاس (گروه آموزشی مهندس مسعودی) با هدف ارتقاء سطح علمی و موفقیت دانش آموزان متوسطه و همچنین داوطلبان کنکور در سال 1400 تاسیس شد و از بهمن ماه 1400 فعالیت خود را به طور رسمی آغاز کرد . این مجموعه ضمن بهره بردن از کادر اساتید زبده و حرفه ای در کنار جدیدترین تکنولوژی های آموزش آنلاین و آفلاین در حال رقم زدن فصل جدیدی از آموزش دروس مختلف متوسطه و کنکور می باشد

موسس و بنيانگذار سایت گام كلاس استاد امير مسعودى ، مطرح ترين و با سابقه ترين استاد رياضى و فيزيک ايران در آموزش آنلاين و تلويزيونى هستند كه با ارائه سبكى جديد و روش هاى پاسخگويى سريع ، مهم ترین تمایز گام‌کلاس نسبت به ساير موسسات می باشد.