اقلیدس و ارشمیدس فاتحان ریاضی

اقلیدس و ارشمیدس فاتحان ریاضی

اقلیدس و ارشمیدس فاتحان ریاضی

 

قبل از شروع زندگانیاقلیدس و ارشمیدس بیاید پیش زمینه ای از ریاضی و ادوات آن داشته باشیم تا فهم مطالب آتی برای اما آسان نر باشد .

تاریخچه ریاضی: سفری در گذر زمان و تمدن‌ها

تاریخ ریاضی، داستانی جذاب و پرفراز و نشیب از تلاش‌های بشر برای درک و اندازه‌گیری دنیای اطراف خود است. این داستان از دوران باستان آغاز می‌شود، زمانی که انسان‌ها برای شمارش، اندازه‌گیری و حل مسائل ابتدایی از ابزارهای ساده‌ای مانند سنگ و چوب استفاده می‌کردند.

با گذر زمان و پیشرفت تمدن‌ها، ریاضیات نیز تکامل یافت و به ابزاری قدرتمند برای حل مسائل پیچیده‌تر در زمینه‌های مختلف مانند نجوم، مهندسی، تجارت و امور مالی تبدیل شد.

در ادامه، مروری کوتاه بر مهم‌ترین دوره‌ها و تمدن‌های تاثیرگذار در تاریخ ریاضی خواهیم داشت:

1. ریاضیات باستان:

  • بین‌النهرین: تمدن‌های باستانی بین‌النهرین (مانند سومر و بابل) در حدود 3500 سال قبل از میلاد، سیستم‌های شمارش و اندازه‌گیری را توسعه دادند. آنها همچنین در زمینه‌هایی مانند هندسه و جبر پیشرفت‌هایی داشتند.
  • مصر: مصریان باستان (حدود 3000 سال قبل از میلاد) از ریاضیات برای امور مختلفی مانند ساخت اهرام، محاسبه زمان و اندازه‌گیری زمین استفاده می‌کردند. آنها همچنین در زمینه حساب و هندسه پیشرفت‌هایی داشتند.
  • یونان باستان: ریاضیدانان یونانی (مانند فیثاغورث، اقلیدس و ارشمیدس) در دوره‌های 600 تا 300 قبل از میلاد، پایه‌های هندسه اقلیدسی و نظریه اعداد را بنا نهادند. آنها همچنین در زمینه‌های آنالیز، مکانیک و اپتیک پیشرفت‌هایی داشتند.
  • هند: ریاضیدانان هندی (مانند برهماگوپتا و بهاراتاچاریا) در حدود قرن‌های 5 تا 12 میلادی، در زمینه‌هایی مانند حساب، جبر و مثلثات پیشرفت‌هایی داشتند. آنها همچنین سیستم اعداد هندی را توسعه دادند که امروزه از آن در سراسر جهان استفاده می‌شود.
  • چین: ریاضیدانان چینی (مانند لیو هوی و Zu Chongzhi) در حدود قرن‌های 3 تا 13 میلادی، در زمینه‌هایی مانند حساب، جبر و هندسه پیشرفت‌هایی داشتند. آنها همچنین در زمینه‌های نجوم و تقویم‌سازی نیز فعالیت می‌کردند.
  • جهان اسلام: ریاضیدانان مسلمان (مانند الخوارزمی، ابن الهيثم و عمر خیام) در حدود قرن‌های 9 تا 15 میلادی، سهم مهمی در زمینه‌های جبر، هندسه، مثلثات و حساب داشتند. آنها همچنین در زمینه‌های اپتیک، نجوم و موسیقی نیز فعالیت می‌کردند.

2. ریاضیات قرون وسطی و رنسانس:

  • اروپای قرون وسطی: در دوران قرون وسطی (حدود قرن‌های 5 تا 15 میلادی) در اروپا، پیشرفت‌های ریاضی عمدتاً توسط دانشمندان مسلمان و یهودی انجام شد. آنها در زمینه‌های جبر، هندسه و حساب کارهای مهمی انجام دادند.
  • رنسانس: در دوره رنسانس (حدود قرن‌های 14 تا 16 میلادی) در اروپا، شاهد احیای علاقه به ریاضیات یونان باستان بودیم. ریاضیدانان این دوره (مانند فیبوناچی، نیکلا کوپرنیک و یوهانس کپلر) از ریاضیات برای حل مسائل جدید در زمینه‌های مختلف مانند نجوم، فیزیک و مهندسی استفاده می‌کردند.

3.ریاضیات دوران مدرن: تحولات شگرف و گسترش ابعاد

دوران مدرن ریاضیات، که از قرن هفدهم میلادی آغاز شد، شاهد تحولات شگرف و گسترش ابعاد این علم به قلمروهای جدید بوده‌است. در این دوران، ایده‌ها و ابزارهای نوینی پدیدار شدند که ریاضیات را به گونه‌ای دگرگون ساختند و زمینه را برای اکتشافات و نوآوری‌های چشمگیر در علوم مختلف فراهم آوردند.

در ادامه به برخی از مهم‌ترین ویژگی‌ها و دستاوردهای ریاضیات دوران مدرن می‌پردازیم:

1. ظهور حساب دیفرانسیل و انتگرال:

بی‌شک، اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط اسحاق نیوتن و گॉटفرید ویلهلم لایبنیتس در قرن هفدهم، نقطه عطفی در تاریخ ریاضیات بود. این ابزار قدرتمند، ریاضیدانان را قادر ساخت تا به مطالعه حرکت، تغییر و انحنای اشکال بپردازند و مسائل پیچیده‌ای را در زمینه‌های مختلف علوم طبیعی و مهندسی حل کنند.

2. توسعه نظریه اعداد:

در دوران مدرن، نظریه اعداد که به مطالعه خواص اعداد صحیح می‌پردازد، پیشرفت‌های قابل توجهی را تجربه کرد. کارهای پیر دو فرما، لئونارد اویلر، کارل فریدریش گاوس و برنارد ریمان در این زمینه، پایه‌های نظریه اعداد نوین را بنا نهاد و زمینه را برای تحقیقات عمیق‌تر در این حوزه فراهم کرد.

3. ظهور هندسه تحلیلی:

هندسه تحلیلی که توسط رنه دکارت پایه‌گذاری شد، پلی بین هندسه و جبر ایجاد کرد و به ریاضیدانان امکان داد تا اشکال هندسی را با استفاده از معادلات و ابزارهای جبری مورد مطالعه قرار دهند. این امر منجر به پیشرفت‌های چشمگیری در زمینه‌های مختلف هندسه، از جمله هندسه دیفرانسیل و هندسه جبری شد.

4. تولد نظریه احتمالات و آمار:

در قرن هفدهم، با تلاش‌هایの先駆者انی مانند پیر دو فرما، بلیز پاسکال و کریستین هویگنز، پایه‌های نظریه احتمالات و آمار بنا نهاده شد. این شاخه از ریاضیات به مطالعه تصادف و عدم قطعیت می‌پردازد و در زمینه‌های مختلفی مانند علوم اجتماعی، اقتصاد، مهندسی و علوم طبیعی کاربرد دارد.

5. پیشرفت در زمینه‌های دیگر:

علاوه بر موارد ذکر شده، دوران مدرن شاهد پیشرفت‌های چشمگیری در زمینه‌های دیگر ریاضیات مانند توپولوژی، نظریه مجموعه‌ها، منطق ریاضی و آنالیز تابعی نیز بوده‌است. این پیشرفت‌ها، درک عمیق‌تر و دقیق‌تری از ساختار جهان و پدیده‌های آن را به ارمغان آورده‌اند.

6. تأثیرگذاری بر سایر علوم:

ریاضیات دوران مدرن، نقشی اساسی در پیشرفت سایر علوم ایفا کرده است. از فیزیک و شیمی گرفته تا زیست‌شناسی و علوم کامپیوتر، ریاضیات به عنوان زبانی مشترک برای توصیف پدیده‌ها، مدل‌سازی سیستم‌ها و حل مسائل پیچیده مورد استفاده قرار گرفته است.

7. گسترش و تنوع:

یکی از بارزترین ویژگی‌های ریاضیات دوران مدرن، گسترش و تنوع روزافزون آن است. در حال حاضر، زیرشاخه‌های مختلفی از ریاضیات وجود دارد که هر کدام به مطالعه موضوعات خاص و حل مسائل چالش‌برانگیزی می‌پردازند. این تنوع، نشان‌دهنده پویایی و حیات این علم کهن و پرفایده است.

8. برخی از ریاضیدانان برجسته دوران مدرن:

  • گॉटفرید ویلهلم لایبنیتس: (1646-1716) ریاضیدان و فیلسوف آلمانی، به خاطر سهم مهمش در توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال مشهور است.
  • ایزاک نیوتن: (1643-1727) فیزیکدان و ریاضیدان انگلیسی، به خاطر قوانین حرکت و قانون جاذبه جهانی که پایه‌های مکانیک کلاسیک را بنا نهاد، مشهور است. همچنین سهم مهمی در زمینه‌های ریاضیات مانند حساب دیفرانسیل و انتگرال داشته است.
  • لئونارد اویلر: (1707-1783) ریاضیدان سوئی

 

اقلیدس و ارشمیدس فاتحان ریاضی

اقلیدس، پدر هندسه

زندگی:

  • تولد: حدود 325 قبل از میلاد در اسکندریه، مصر
  • مرگ: حدود 265 قبل از میلاد در اسکندریه، مصر
  • فعالیت: ریاضی‌دان

معروف به:

  • پدر هندسه
  • نویسنده کتاب اصول

زندگی شخصی:

اطلاعات زیادی از زندگی شخصی اقلیدس در دست نیست. برخی منابع معتقدند که او در آتن متولد شده و بعداً به اسکندریه نقل مکان کرده است. او بیشتر عمر خود را در اسکندریه گذراند و در آنجا به عنوان استاد ریاضیات در دانشگاه مشهور اسکندریه فعالیت می‌کرد.

آثار:

  • اصول: مشهورترین اثر اقلیدس است که شامل 13 کتاب و 465 قضیه در مورد هندسه، نظریه اعداد و جبر مقدماتی (هندسی) است. این کتاب به زبان‌های مختلف ترجمه شده و برای بیش از 2000 سال به عنوان منبع اصلی آموزش هندسه در غرب مورد استفاده قرار گرفته است.
  • آثار دیگر: اقلیدس آثار دیگری نیز در زمینه موسیقی، اپتیک و مناظر نوشته است.

میراث:

اقلیدس یکی از تأثیرگذارترین ریاضیدانان تاریخ است. کتاب اصول او به مدت دو هزار سال پایه و اساس آموزش هندسه در غرب بود. کارهای او در زمینه هندسه، نظریه اعداد و اپتیک تا به امروز مورد استفاده قرار می‌گیرد.

نکات جالب:

  • به اقلیدس لقب “پدر هندسه” و “بنیانگذار هندسه” داده شده است.
  • کتاب اصول اقلیدس به بیش از 50 زبان ترجمه شده است.
  • گفته می‌شود که اقلیدس در پاسخ به پادشاه مصر که خواهان راه ساده‌ای برای یادگیری هندسه بود، گفته است: “در هندسه راه شاهانه‌ای وجود ندارد!”

اقلیدس و ارشمیدس فاتحان ریاضی

ارشمیدس: نابغه ریاضی و فیزیک یونان باستان

زندگی:

  • تولد: 287 پیش از میلاد در سیراکوز، سیسیل، یونان
  • مرگ: 212 پیش از میلاد در سیراکوز، سیسیل، یونان
  • فعالیت: ریاضیدان، فیزیکدان، مهندس، مخترع و منجم

معروف به:

  • قانون ارشمیدس
  • محاسبه عدد پی
  • اصل اهرم
  • مارپیچ ارشمیدس

زندگی شخصی:

ارشمیدس در سیراکوز یونان باستان متولد شد. گفته می‌شود که او از خانواده‌ای ثروتمند بود و تحصیلات خود را در اسکندریه، مرکز علمی جهان در آن زمان، گذراند. پس از اتمام تحصیلات به سیراکوز بازگشت و در دربار Hiero II، پادشاه سیراکوز، به عنوان مشاور و مهندس مشغول به کار شد.

آثار:

ارشمیدس در زمینه‌های مختلف ریاضیات، فیزیک، مهندسی و نجوم دستاوردهای مهمی داشته است. برخی از مشهورترین آثار او عبارتند از:

  • قانون ارشمیدس: این قانون بیان می‌کند که نیروی شناوری که بر جسمی در سیال وارد می‌شود برابر با وزن سیال رانده شده توسط آن جسم است.
  • محاسبه عدد پی: ارشمیدس از روشی ابتکاری برای محاسبه عدد پی استفاده کرد و مقدار آن را تا رقم سوم اعشاری تخمین زد.
  • اصل اهرم: ارشمیدس اصل اهرم را که بیان می‌کند یک جسم سنگین را می‌توان با اعمال نیرویی کوچک به نقطه دورتر از بار به تعادل رساند، کشف کرد.
  • مارپیچ ارشمیدس: مارپیچ ارشمیدس یک منحنی است که در بسیاری از کاربردهای مهندسی از جمله پمپ‌ها و ابزارهای حفاری استفاده می‌شود.

میراث:

ارشمیدس یکی از بزرگترین دانشمندان تاریخ است. کارهای او در زمینه ریاضیات، فیزیک و مهندسی پایه و اساس بسیاری از اختراعات و اکتشافات بعدی را بنا نهاد. او به عنوان یکی از خلاق‌ترین و مبتکرترین ذهن‌های تمام دوران شناخته می‌شود.

نکات جالب:

  • گفته می‌شود که ارشمیدس در حالی که در حمام بود، قانون ارشمیدس را کشف کرد. او چنان هیجان‌زده بود که از حمام بیرون دوید و فریاد زد “یافتم! یافتم!”.
  • ارشمیدس در جریان محاصره سیراکوز توسط رومی‌ها کشته شد. طبق افسانه، سربازی رومی او را در حالی که در حال انجام محاسبات ریاضی بود، کشت.

اقلیدس و ارشمیدس فاتحان ریاضی

قانون ارشمیدس: شناوری در سیالات

قانون ارشمیدس یکی از مهم‌ترین اصول در فیزیک سیالات است که به شناوری اجسام در مایعات و گازها می‌پردازد. این قانون به طور خلاصه بیان می‌کند:

نیروی شناوری که به جسمی در سیال وارد می‌شود، برابر با وزن سیال رانده شده توسط آن جسم است.

به عبارت دیگر، زمانی که جسمی را در مایعی فرو می‌کنیم، آن مایع به اندازه حجم جسم جابجا شده، وزن خود را از دست می‌دهد. این نیروی “از دست رفته” به عنوان نیروی شناوری به جسم اعمال می‌شود و جهت آن همیشه رو به بالا است.

فرمول نیروی شناوری:

نیروی شناوری با نماد F_b نشان داده می‌شود و با استفاده از چگالی سیال (ρ) و حجم سیال جابجا شده (V) به دست می‌آید:

F_b = ρ * g * V

در این فرمول:

  • ρ: چگالی سیال (بر حسب کیلوگرم بر متر مکعب)
  • g: شتاب جاذبه زمین (تقریباً 9.81 متر بر ثانیه مربع)
  • V: حجم سیال جابجا شده (بر حسب متر مکعب)

کاربردهای قانون ارشمیدس:

قانون ارشمیدس کاربردهای بسیار زیادی در زمینه‌های مختلف دارد، از جمله:

  • شناور شدن کشتی‌ها و زیردریایی‌ها: کشتی‌ها به دلیل جابجا کردن حجم زیادی از آب، نیروی شناوری کافی برای غلبه بر وزن خود دریافت می‌کنند و روی آب شناور می‌مانند. زیردریایی‌ها نیز با استفاده از مخازن آب قابل تنظیم، می‌توانند چگالی خود را کنترل کرده و غوطه‌ور شوند یا به سطح آب بیایند.
  • غواصی: غواصان با پوشیدن جلیقه‌های غواصی که با هوا یا گاز پر شده است، می‌توانند چگالی خود را کاهش داده و غوطه‌ور شوند.
  • اندازه‌گیری چگالی: با استفاده از قانون ارشمیدس و اندازه‌گیری نیروی شناوری و حجم سیال جابجا شده، می‌توان چگالی اجسام را تعیین کرد.
  • آزمایش‌های علمی: از قانون ارشمیدس در بسیاری از آزمایش‌های علمی، مانند آزمایش ارشمیدس و آزمایش چگالی، استفاده می‌شود.

مثال‌هایی از قانون ارشمیدس:

  • یک توپ فوتبال را در نظر بگیرید: هنگامی که توپ فوتبال را در آب فرو می‌کنید، مقداری از آب را جابجا می‌کند. نیروی شناوری که به توپ وارد می‌شود برابر با وزن آب جابجا شده است. اگر توپ را به طور کامل در آب فرو کنید، نیروی شناوری برابر با وزن کل توپ خواهد بود و توپ روی آب معلق می‌ماند.
  • یک سنگ را در نظر بگیرید: هنگامی که سنگ را در آب فرو می‌کنید، مقداری از آب را جابجا می‌کند. نیروی شناوری که به سنگ وارد می‌شود برابر با وزن آب جابجا شده است. اما اگر چگالی سنگ بیشتر از چگالی آب باشد، نیروی شناوری از وزن سنگ کمتر خواهد بود و سنگ در آب غرق می‌شود.

قانون ارشمیدس و اصل شناوری:

قانون ارشمیدس ارتباط نزدیکی با اصل شناوری دارد. اصل شناوری بیان می‌کند که یک جسم در سیال زمانی شناور می‌ماند که نیروی شناوری وارد بر آن بیشتر از وزن آن باشد. اگر نیروی شناوری کمتر از وزن جسم باشد، جسم در سیال غرق می‌شود.

نقش چگالی در قانون ارشمیدس:

چگالی سیال و چگالی جسم نقش مهمی در تعیین اینکه آیا جسم در سیال شناور می‌شود یا غرق می‌شود، دارد. اگر چگالی جسم کمتر از چگالی سیال باشد، نیروی شناوری بیشتر از وزن جسم خواهد بود و جسم روی سیال شناور می‌ماند. اما اگر چگالی جسم بیشتر از چگالی سیال باشد، نیروی شناوری کمتر از وزن جسم خواهد بود و جسم در سیال غرق می‌شود.

اقلیدس و ارشمیدس فاتحان ریاضی

محاسبه عدد پی توسط ارشمیدس: روشی خلاقانه

ارشمیدس، ریاضیدان و فیزیکدان یونان باستان، به خاطر روش ابتکاری خود برای محاسبه تقریبی عدد پی (π) مشهور است. در حالی که روش‌های دقیق‌تری برای محاسبه عدد پی در دوران‌های بعد ابداع شده است، روش ارشمیدس به دلیل سادگی و خلاقیت آن قابل توجه است.

روش ارشمیدس:

ارشمیدس از روشی هندسی برای محاسبه عدد پی استفاده کرد که بر اساس محیط و مساحت دایره استوار بود. او مراحل زیر را انجام داد:

  1. یک دایره و یک شش ضلعی منتظم در آن رسم کرد. شش ضلعی منتظم در داخل دایره محاط شده بود، به طوری که هر ضلع شش ضلعی با محیط دایره مماس بود.
  2. مساحت دایره و شش ضلعی را محاسبه کرد. مساحت دایره را می‌توان با استفاده از فرمول πr² و مساحت شش ضلعی را با استفاده از فرمول ½bh (که در آن b طول هر ضلع و h ارتفاع شش ضلعی است) محاسبه کرد.
  3. محیط دایره را محاسبه کرد. محیط دایره را می‌توان با استفاده از فرمول 2πr محاسبه کرد، که در آن r شعاع دایره است.
  4. نسبت محیط دایره به محیط شش ضلعی را محاسبه کرد. این نسبت تقریباً برابر با عدد پی بود.
  5. این فرآیند را با چند ضلعی‌های منتظم با تعداد اضلاع بیشتر (مانند دوازده ضلعی، بیست و چهار ضلعی و …) تکرار کرد. با افزایش تعداد اضلاع، دقت تخمین عدد پی نیز افزایش می‌یافت.

دقت محاسبه:

ارشمیدس این فرآیند را تا 96 ضلع تکرار کرد و تخمین نهایی او برای عدد پی بین 3.14159 و 3.14160 بود. این مقدار با دقت 99.97% با مقدار واقعی عدد پی (تقریباً 3.1415926535) مطابقت دارد.

اهمیت روش ارشمیدس:

روش ارشمیدس برای محاسبه عدد پی از چند جهت حائز اهمیت است:

  • سادگی: این روش از مفاهیم هندسی ساده‌ای مانند دایره، شش ضلعی و مساحت استفاده می‌کند.
  • خلاقیت: این روش نشان‌دهنده خلاقیت و ابتکار ارشمیدس در حل مسائل ریاضی بود.
  • دقت: با وجود سادگی، این روش به دقت قابل توجهی در محاسبه عدد پی دست یافت.

تاثیرگذاری:

روش ارشمیدس برای محاسبه عدد پی الهام‌بخش ریاضیدانان در طول تاریخ بوده است. این روش پایه و اساس روش‌های دقیق‌تر بعدی برای محاسبه عدد پی را بنا نهاد.

اصل اهرم ارشمیدس: تعادل نیروها

اصل اهرم یکی از اصول بنیادی در مکانیک است که به رابطه بین نیرو، فاصله و گشتاور می‌پردازد. این اصل را می‌توان به طور خلاصه به صورت زیر بیان کرد:

در یک اهرم متعادل، حاصلضرب نیرو در فاصله تا تکیه گاه برای هر دو جسم برابر است.

به عبارت دیگر، اگر دو جسم با وزن‌های مختلف در دو طرف یک اهرم ثابت قرار گیرند، اهرم در حال تعادل خواهد بود اگر حاصلضرب وزن هر جسم در فاصله آن تا تکیه گاه برابر باشد.

فرمول اصل اهرم:

اصل اهرم را می‌توان با استفاده از فرمول زیر به صورت ریاضی بیان کرد:

F_1 * d_1 = F_2 * d_2

در این فرمول:

  • F_1: نیروی اعمال شده توسط جسم اول
  • d_1: فاصله جسم اول تا تکیه گاه
  • F_2: نیروی اعمال شده توسط جسم دوم
  • d_2: فاصله جسم دوم تا تکیه گاه

مثال:

فرض کنید یک اهرم با طول 1 متر داریم و دو جسم با وزن‌های 10 کیلوگرم و 20 کیلوگرم در دو طرف آن قرار گرفته‌اند. برای اینکه اهرم در حال تعادل باشد، باید جسم 20 کیلوگرمی را در فاصله 0.5 متری از تکیه گاه و جسم 10 کیلوگرمی را در فاصله 1 متری از تکیه گاه قرار دهیم. در این حالت، حاصلضرب وزن هر جسم در فاصله آن تا تکیه گاه برابر خواهد بود:

10 kg * 1 m = 20 kg * 0.5 m

کاربردهای اصل اهرم:

اصل اهرم کاربردهای بسیار زیادی در زمینه‌های مختلف دارد، از جمله:

  • ابزارهای مختلف: بسیاری از ابزارها مانند قیچی، اهرم چنگک، گوه و قرقره بر اساس اصل اهرم عمل می‌کنند.
  • ماشین‌های ساده: اهرم یکی از اجزای اصلی بسیاری از ماشین‌های ساده مانند چرخ و محور، قرقره و بلوک و شیب است.
  • معماری و سازه‌ها: از اصل اهرم در طراحی و ساخت پل‌ها، ساختمان‌ها و سایر سازه‌ها استفاده می‌شود.

نقش اهرم در مکانیک:

اصل اهرم یکی از مفاهیم بنیادی در مکانیک است که به درک نحوه عملکرد نیروها و گشتاور در سیستم‌های مختلف کمک می‌کند. این اصل در بسیاری از زمینه‌های مختلف مهندسی و علوم کاربرد دارد.

ارشمیدس و اصل اهرم:

اگرچه اصل اهرم به طور سنتی به ارشمیدس نسبت داده نمی‌شود، اما او نقش مهمی در درک و ترویج این اصل داشت. ارشمیدس از اصل اهرم در بسیاری از اختراعات و اکتشافات خود، مانند طراحی پیچ ارشمیدس، استفاده کرد.

مجموعه ی گام کلاس (گروه آموزشی مهندس مسعودی) با هدف ارتقاء سطح علمی و موفقیت دانش آموزان متوسطه و همچنین داوطلبان کنکور در سال 1400 تاسیس شد و از بهمن ماه 1400 فعالیت خود را به طور رسمی آغاز کرد . این مجموعه ضمن بهره بردن از کادر اساتید زبده و حرفه ای در کنار جدیدترین تکنولوژی های آموزش آنلاین و آفلاین در حال رقم زدن فصل جدیدی از آموزش دروس مختلف متوسطه و کنکور می باشد

موسس و بنيانگذار سایت گام كلاس استاد امير مسعودى ، مطرح ترين و با سابقه ترين استاد رياضى و فيزيک ايران در آموزش آنلاين و تلويزيونى هستند كه با ارائه سبكى جديد و روش هاى پاسخگويى سريع ، مهم ترین تمایز گام‌کلاس نسبت به ساير موسسات می باشد.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

gc-phone-pack

بعد از تکمیل فرم زیر کارشناسان ما ، در اولین فرصت با شما تماس خواهند گرفت